小さい頃塾で1から20までを２乗した数を覚えさせられた！とか、19の２乗は・・・361「さ・む・い」なんてゴロで覚えている人も多いと思いますが、今回はその平方数のお話です。平方数はテストなんかでもよくでてきますし、１〜20以外の数でも手早く暗算で計算できたら役に立つと思います。是非読んで見てください。
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面白い平方数の計算（末尾が５の場合）
85の２乗などのように、１の位が5である数の２乗計算には暗算によって解く方法があります。以下はそのやり方です。
- 末尾の桁を消して、残った数をNとする
- N・(N+1)をする
- N・(N+1)の末尾に25をつける
以下にいくつか例を示して見たいと思います。
85の2乗の場合
実際にこの方法が成り立つのか85の２乗で試して見たいと思います。
末尾の桁を消して残った数は８なので、８×9 をします。でてきた72の末尾に25を付け加え答えは7225となります。実際に電卓で計算してみてください。7225になるはずです。
115の２乗の場合
3桁の場合の平方でも成り立つのか試して見たいと思います。
115の末尾の桁を消して残った数は11なので、11×12 をします。でてきた132の末尾に25を付け加え答えは13225となります。実際に電卓で計算してみてください。13225になるはずです。
面白い平方数の計算（末尾が５の場合）証明
2桁の場合で示して見ます。末尾の桁を消した残りの数をNとすると式は、(10N+5)の２乗と表すことができます。これを計算すると式は、100N(N+1)+25となるので、たしかに N（N+1)に25を付け加える計算が成り立つことがわかります。
3桁の場合でもやってみます。末尾の桁を消した残りの数をN,Mを使って表すと式は、(100N+10M+5)の２乗と表すことができます。これを計算すると式は、100(10N+M)(10N+M+1)+25となるので10N+MをN’とすれば、100N’(N’+1)+25が成り立ちますので、先ほどと同じ形ができます。4桁の場合も文字を１つ増やして計算すれば、結局100N+10M+LをN’’などとおけば成り立つでしょう。何桁になっても Nの部分が伸びるだけで、100N(N+1)+25 の形になることがわかります。証明は以下の図を参考にしてみてください。
